Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ về tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Như bảng 1 cho thấy, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
Bảng 1: Đường đi biến thể của STARKs
| Đại số | Độ rộng bit | Miền |
|------|------|------|
| Thế hệ 1 | 252bit | Miền số nguyên tố |
| Thế hệ thứ 2 | 64bit | Goldilocks |
| Thế hệ thứ 3 | 32bit | Miền số nguyên tố |
| Thế hệ thứ 4 | 1bit | Miền nhị phân |
So với các lĩnh vực hữu hạn mới được phát hiện trong vài năm gần đây như Goldilocks, BabyBear, Mersenne31, nghiên cứu về lĩnh vực nhị phân có thể được truy nguyên từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện nay, lĩnh vực nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, những ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
QR mã, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào chung kết SHA-3, hàm này dựa trên trường F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo an ninh. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an ninh và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong các phép tính của Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động dưới miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an ninh cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng cần lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng cũng cần lớn hơn kích thước sau khi mã hóa mở rộng.
Binius đã đề xuất một giải pháp sáng tạo, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và đạt được điều này bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "siêu lập phương" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu lập phương đều là 2, do đó không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương như một hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông này để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi cải thiện đáng kể hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP như là lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi dần dần đa thức thông qua việc tương tác với người xác minh, giúp người xác minh có thể kiểm tra tính đúng đắn của phép tính chỉ bằng cách truy vấn kết quả đánh giá của một số ít đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý khác nhau đối với biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Kế hoạch cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Kế hoạch cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh các phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các kế hoạch cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và trường hợp áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm là khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, lựa chọn PIOP và PCS phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn các kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, dựa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields), phép toán đã tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đã điều chỉnh HyperPlonk để kiểm tra sản phẩm và hoán vị, đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển bậc đa thức mới, tối ưu hóa hiệu suất kiểm tra các mối quan hệ bậc đa thức trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã áp dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp sự linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm chi phí thường gặp liên quan đến miền lớn.
2.1 miền hữu hạn: toán học dựa trên towers of binary fields
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và toán học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán toán học rất hiệu quả, làm cho nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình toán học đơn giản hóa, tức là các phép toán được thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số ngắn gọn và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc tính phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến cho trường nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào đều có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, vì miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể được chứa trong 32 bit, nhưng không phải mỗi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự thuận tiện trong ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Thực Hiện Miền Số Nguyên Tố So với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải thêm bậc trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc một trăm hai mươi tám phần tử miền F2. Sự linh hoạt trong biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu của chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, phép bình phương và phép đảo trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể được phân rã thành miền con m bit ).
Hình 1: Miền nhị phân kiểu tháp
2.2 PIOP: phiên bản sửa đổi của sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------ áp dụng cho trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính đúng đắn của đa thức và tập hợp đa biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng chỉ bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ tính toán của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.
PermutationCheck: Kiểm tra xem kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra giá trị của đa thức hợp lý trên siêu khối Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Hơn nữa, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức đa biến, nhằm nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 điểm sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 tại mọi điểm trong hypercube, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách đặc biệt hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định vấn đề không bằng 0 của U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các tình huống sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch đa tuyến mới------áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là then chốt.
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
11 thích
Phần thưởng
11
5
Đăng lại
Chia sẻ
Bình luận
0/400
PermabullPete
· 08-13 17:45
bull à bull à không gian tối ưu lớn hơn tưởng tượng
Xem bản gốcTrả lời0
PebbleHander
· 08-13 17:45
Tối ưu hóa lại tối ưu hóa, càng nén càng nhỏ còn lãng phí không gian
Xem bản gốcTrả lời0
UnluckyLemur
· 08-13 17:45
Không nói nên lời, hiệu suất tối ưu hóa kém quá.
Xem bản gốcTrả lời0
ZKProofster
· 08-13 17:43
nói một cách kỹ thuật, con đường tối ưu hóa này là không thể tránh khỏi... merkle bloat luôn là điểm yếu của achilles smh
Binius: Khám phá giải pháp STARKs hiệu quả mới trong miền nhị phân
Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ về tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Như bảng 1 cho thấy, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
Bảng 1: Đường đi biến thể của STARKs
| Đại số | Độ rộng bit | Miền | |------|------|------| | Thế hệ 1 | 252bit | Miền số nguyên tố | | Thế hệ thứ 2 | 64bit | Goldilocks | | Thế hệ thứ 3 | 32bit | Miền số nguyên tố | | Thế hệ thứ 4 | 1bit | Miền nhị phân |
So với các lĩnh vực hữu hạn mới được phát hiện trong vài năm gần đây như Goldilocks, BabyBear, Mersenne31, nghiên cứu về lĩnh vực nhị phân có thể được truy nguyên từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện nay, lĩnh vực nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, những ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
QR mã, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào chung kết SHA-3, hàm này dựa trên trường F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo an ninh. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an ninh và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong các phép tính của Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động dưới miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an ninh cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng cần lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng cũng cần lớn hơn kích thước sau khi mã hóa mở rộng.
Binius đã đề xuất một giải pháp sáng tạo, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và đạt được điều này bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "siêu lập phương" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu lập phương đều là 2, do đó không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương như một hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông này để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi cải thiện đáng kể hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP như là lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi dần dần đa thức thông qua việc tương tác với người xác minh, giúp người xác minh có thể kiểm tra tính đúng đắn của phép tính chỉ bằng cách truy vấn kết quả đánh giá của một số ít đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý khác nhau đối với biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Kế hoạch cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Kế hoạch cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh các phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các kế hoạch cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và trường hợp áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm là khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, lựa chọn PIOP và PCS phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn các kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, dựa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields), phép toán đã tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đã điều chỉnh HyperPlonk để kiểm tra sản phẩm và hoán vị, đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển bậc đa thức mới, tối ưu hóa hiệu suất kiểm tra các mối quan hệ bậc đa thức trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã áp dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp sự linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm chi phí thường gặp liên quan đến miền lớn.
2.1 miền hữu hạn: toán học dựa trên towers of binary fields
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và toán học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán toán học rất hiệu quả, làm cho nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình toán học đơn giản hóa, tức là các phép toán được thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số ngắn gọn và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc tính phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến cho trường nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào đều có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, vì miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể được chứa trong 32 bit, nhưng không phải mỗi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự thuận tiện trong ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Thực Hiện Miền Số Nguyên Tố So với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải thêm bậc trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc một trăm hai mươi tám phần tử miền F2. Sự linh hoạt trong biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu của chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, phép bình phương và phép đảo trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể được phân rã thành miền con m bit ).
Hình 1: Miền nhị phân kiểu tháp
2.2 PIOP: phiên bản sửa đổi của sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------ áp dụng cho trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính đúng đắn của đa thức và tập hợp đa biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng chỉ bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ tính toán của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.
PermutationCheck: Kiểm tra xem kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra giá trị của đa thức hợp lý trên siêu khối Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Hơn nữa, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức đa biến, nhằm nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 điểm sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 tại mọi điểm trong hypercube, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách đặc biệt hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định vấn đề không bằng 0 của U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các tình huống sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch đa tuyến mới------áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là then chốt.